摘 要: 子空间直和是高等代数课程的重要内容之一,本文结合作者的教学体会,提出关于子空间直和教学的一些思考和探索。
　　 关键词: 子空间直和; 教学思考和探索
　　中图分类号: G658 3文献标识码: A 文章编号:1009-8631(2010)04-0105-01
　　
　　 一、引言
　　 子空间直和理论是数学专业高等代数课程的基本内容,其中蕰含的空间分解思想为线性变换的对角化和准对角化提供了有力的理论依据。子空间直和的延伸理论如群和环的直和理论为研究群和环性质提供了很好理论基础。因而子空间直和理论无论在高等代数课程或后继的近世代数课程中都是很重要的一部分内容,然而由于这部分内容比较抽象,叙述存在变式,应用内容又在该节之后,导致实际教学中学生理解困难,教学效果不甚理想。本文结合自身教学体会,对于子空间直和教学作思考和探索。
　　 二、关于子空间直和教学的具体作法
　　 (一)在概念引入上突出温故知新
　　 子空间直和的概念较为抽象,学生又看不出引入这一概念的应用意义,导致教学内容的展开存在障碍。为了解决这一难题,作者对此概念引入采取由两个熟悉的实例出发:
　　 例1:设 V=R2,ε1=(1,0),ε2=(0,1)
　　 (1)V1=L(ε1),V2=L(ε2),求V1+V2并讨论和空间元素的表示方法;
　　 (2)V3=L(ε1+ε2),V4=L(ε2),求V3+V4并讨论和空间元素的表示方法。
　　 例2:设V=Pn×n的子空间V1={A∈Pn×n|A′=A},V2={A∈Pn×n|A′=-A},求 V1+V2并讨论和空间元素的表示方法。
　　 对于例1,由生成子空间和空间的结论,学生很容易得出V1+V2=V,V3+V4=V。由(1),(2)两条比较,学生很容易得出尽管两对和空间都等于V,但这两种和不一样。(1)中和空间元素的表示方法唯一,而(2)中和空间元素的表示方法不唯一。结合子空间和的概念知(1)是特殊的子空间和运算。将以上等式反过来书写,即V=V1+V2,V=V3+V4。从而有平面空间可分解两个较简单子空间的和,特别地在(1)中有和空间中任意向量通过两子空间中向量表示的表示法唯一。这是平面向量问题借助坐标转化为代数问题的更深层次理论依据,大空间分解为子空间直和的理论更有意义。
　　 对于例2由文献[1]中矩阵一章课后习题,学生很容易得出V1+V2=V且和空间元素的表示方法唯一,从而再次强调这种和运算较为特殊,由此引入子空间直和概念则顺理成章。对于这种特殊的子空间和运算,当然有必要更深入研究它的性质,为了应用需要,作者向学生介绍子空间直和定义的变式形式:
　　 定义1:设V为数域P上线性空间,V1,V2为V的两个子空间,若
　　 (1)V1+V2=V;
　　 (2)V中每个向量α的分解式α=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2是唯一的,就称V是V1,V2的直和,记V1 V2=V。
　　在实际应用中,通常会要求证明一个大空间是两个子空间的直和,学生常常会忽略条件 的验证,从而产生论证上的错误。定义1的分条列出,避免了学生的常犯错误。同时定义1中条件(1)的列出有空间分解的思想在里面,为后继的应用做出了铺垫。
　　 (二)在理论解释上突出推陈出新
　　 在定义1引入时,作者已经提到这种特殊的和运算应该有更为深刻的性质。结合例1、例2,引导学生探索两子空间的关系及大空间与两子空间的维数关系,引导学生猜测 是 直和时相应的性质及判定,整理为定理如下:
　　 定理1:若设V为数域P上线性空间,V1,V2为V的两个子空间。若V1+V2=V,则下列命题等价:
　　 (1)V1 V2=V;
　　 (2)若0=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2,则α1=α2=0;
　　 (3)V1∩V2={0};
　　 (4)维(V)=维(V1)+维(V2)。
　　 定理1采用把文献[1]中关于子空间直和的几个结论合为一个结论,结论更为集中,突出了条件直和首先要是和,相关实例见如下例3。定理1的第(2)条,作者把文献[1]中的等式反过来写,学生更易于理解,突出了零向量分解式。
　　 例3:设V=R3的一组基ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1),V1=L(ε1),V2=L(ε3),V3=L(ε1,ε2)
　　 (1)求V1∩V2,判断V1 V2=V是否成立;
　　 (2)判断V1 V2=V是否成立。
　　 对定理1的证明,采用循环证法,相较而言,证明思路更为简洁,占用课堂时间较少,可以给应用举例提供更多时间。
　　 定理1证明如下:(1) => (2)由直和定义显然成立。
　　 (2) => (3)Aα∈V1∩V2,由0=α+(-α),而α∈V1,-α∈V2由(2)有α-α=0故V1∩V2={0}。
　　 (3) => (4)由(3),维(V1∩V2)=0,又由V1+V2=V,结合维数公式,故
　　 维(V)=维(V1+V2)=维( V1)+维(V2)-维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)。
　　 (4)=> (1)由V1+V2=V,结合(4)及维数公式,有
　　 维(V1∩V2)=维(V1+V2)-维(V1)-维(V2)
　　 =维(V)-维(V1)-维(V2)=0,
　　 故V1∩V2={0},从而Aα∈V,若α=α1+α2=β1+β2,其中α1,β1∈V1,α2,β2∈V2,移项整理得α1-β1=α2-β2∈V1∩V2,由V1∩V2={0},从而α1=β1,α2=β2,故V1 V2=V。
　　 (三)在知识应用上突出拓展创新
　　 在课堂教学中,知识应用的较直接方式是处理习题。在习题选择上,本文作者遵循以下原则:1.题目有一定难度,又不能太难太偏,从而有利于调动学生的积极性和培养学生学好该课程的信心;2.题目与后继内容有一定联系,从而有利于后继内容的展开;3.选择有发散的习题作为课后思考题,从而有利于培养学生解决问题的能力,提高学生的思维水平。鉴于以上几点,作者选择如下习题指导学生完成:
　　 例4:设A,B,C,D∈Pn×n关于矩阵乘法可交换,且AC+BD=E。设W,V1,V2分别是方程组ABX=0,BX=0,AX=0的解空间,证明V1 V2=W。
　　 例5:设A∈Pn×n且A2=A,V=Pn×n,V0={α∈V|Aα=0},V1={β∈V|Aβ=β},证明V1 V2=V。
　　 课后思考题:设V1,V2为V的子空间,能否去掉条件V1+V2=V,而由定理1命题(2)、(3)、(4)任意选取其中两个作为条件,证明V1 V2=V?
　　 参考文献:
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　　 [2]马正义.《高等代数》教学改革的若干尝试[J].丽水学院学报,2006.28(2):75-80.
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